Thống kê suy luận là gì? Từ dữ liệu mẫu đến kết luận về tổng thể

Xuất phát từ trong thực tế của bạn rằng, không ai có đủ thời gian, ngân sách và nguồn lực để khảo sát toàn bộ khách hàng, dữ liệu của mình. Một công ty làm kinh doanh không thể hỏi ý kiến tất cả khách hàng trên thị trường; một bệnh viện khó có thể kiểm tra toàn bộ bệnh nhận đã từng đến; hay một học viên cao học cũng không thể đi hỏi toàn bộ người lao động tại TPHCM để khảo sát
Thay vào đó, chúng ta lựa chọn một nhóm nhỏ hơn, gọi là mẫu, thu thập dữ liệu từ nhóm này và sử dụng kết quả để đưa ra kết luận về tổng thể. Quá trình đó chính là nền tảng của thống kê suy luận (Inferential Statistics) . Như vậy bạn phải hiểu rõ là đang làm việc với mẫu, tổng thể là những khái niệm cơ bản bạn cần nắm vững. Từ mẫu sẽ giúp chung ta ước lượng, kiểm định giả thuyết, dự báo và ra quyết định trong điều kiện không chắc chắn. Tức là từ mẫu để đánh giá, rút ra kết luận về tổng thể.

1. Thống kê suy luận là gì?

Thống kê suy luận là một nhánh của thống kê sử dụng dữ liệu mẫu để suy luận về đặc điểm của một tổng thể lớn hơn.
Ví dụ, một học thuê.net muốn biết mức độ hài lòng trung bình của 200 khách hàng đã sử dụng dịch vụ của mình. Admin của hocthue.net sẽ khảo sát toàn bộ khách hàng, HỌC THUÊ.NET sẽ chọn ngẫu nhiên 40 người, tính mức độ hài lòng trung bình của nhóm này, sau đó sử dụng kết quả để ước lượng mức độ hài lòng của toàn bộ khách hàng.

Quá trình suy luận thường diễn ra theo trình tự:

Trong đó:
 Tổng thể, tiếng anh là Population là toàn bộ đối tượng mà nhà nghiên cứu quan tâm.
 Mẫu (Sample) là một bộ phận được lựa chọn từ tổng thể.
 Tham số  (Parameter) là đại lượng của mẫu để mô tả tổng thể.
 Thống kê mẫu (Statistic) là đại lượng được tính toán từ dữ liệu mẫu.
Ví dụ, Số lượng khách hàng sử dụng dịch vụ của hocthue.net là một tham số tổng thể. Số lượng khách hàng 20 người được khảo sát là một thống kê mẫu.

2. Khái niệm mẫu và tổng thể. Quá trình từ mẫu đến tổng thể.

Một trong những bước quan trọng nhất của thống kê suy luận là lựa chọn mẫu.  Như đã đề cập phần trước thì mẫu và tổng thể là những khái niệm cơ bản mà hocthue.net muốn nhắc.
Giả sử dịch vụ của HTNET muốn biết tỷ lệ khách hàng hài lòng với một dịch vụ của chúng tôi. Tổng thể nghiên cứu là tất cả khách hàng đã sử dụng dịch vụ. Tuy nhiên, việc khảo sát toàn bộ khách hàng có thể không khả thi. Hocthue.net vì thế chọn một số khách hàng để khảo sát.
Để kết quả từ mẫu có thể phản ánh tương đối chính xác tổng thể, mẫu cần có tính đại diện. Một trong những phương pháp phổ biến là lấy mẫu ngẫu nhiên  (tiếng anh random sampling), trong đó mỗi đơn vị trong tổng thể đều có cơ hội được lựa chọn.
Nếu mẫu được chọn không phù hợp, kết quả suy luận có thể bị sai lệch, ngay cả khi các phương pháp tính toán được thực hiện chính xác.
Ví dụ, một trường đại học muốn đánh giá mức độ hài lòng của sinh viên về khóa học thống kê của thầy giáo X, nhưng chỉ khảo sát những sinh viên đang có mặt tại buổi học hôm nay. Nhóm sinh viên này có thể không đại diện cho toàn bộ sinh viên trong khóa học, dẫn đến sai lệch chọn mẫu. Chọn đúng hơn là chọn 10 sinh viên ở mỗi lớp sẽ được mẫu ngẫu nhiên hơn.

3. Tham số tổng thể và thống kê mẫu

Trong thống kê suy luận, chúng ta thường muốn tìm hiểu một số tham số của tổng thể nhưng không thể quan sát trực tiếp chúng. Vì vậy, thống kê mẫu được sử dụng để ước lượng các tham số này.
Một số ký hiệu thường gặp gồm:

Trong đó, $\mu$, $p$ và $\sigma^2$thường chưa biết. Nhà nghiên cứu sử dụng $\overline{x}$, $\hat{p}$ và $s^2$ để ước lượng chúng.
Chẳng hạn, nếu khảo sát 200 khách hàng và nhận thấy 160 người hài lòng, tỷ lệ hài lòng của mẫu là:
Kết quả này cho thấy tỷ lệ hài lòng trong mẫu là 80%. Từ đó, nhà nghiên cứu có thể ước lượng tỷ lệ hài lòng của toàn bộ khách hàng.

4. Phân phối lấy mẫu

Phân phối mẫu là phân bố xác suất của một thống kê (ví dụ trung bình, phương sai) được tính toán từ các lần lấy mẫu từ tổng thể. Ví dụ nếu ta chọn nhiều mẫu ngẫu nhiên có cùng kích thước từ một tổng thể, mỗi mẫu có thể tạo ra một giá trị trung bình khác nhau.
Ví dụ, khi chọn nhiều nhóm gồm 100 khách hàng, mức độ hài lòng trung bình của từng nhóm có thể lần lượt là 7,2; 7,5; 7,3 hay 7,6 điểm. Tập hợp các giá trị thống kê được tính từ nhiều mẫu tạo thành phân phối lấy mẫu ( sampling distribution.)

Phân phối lấy mẫu giúp chúng ta trả lời câu hỏi rằng Thống kê mẫu có thể dao động bao nhiêu so với tham số thật của tổng thể? Khái niệm này là cơ sở để tính sai số chuẩn, xây dựng khoảng tin cậy và thực hiện kiểm định giả thuyết. 
Dựa trên khái niệm phân phối mẫu, ta có thể đặt ra câu hỏi về phân phối tổng thể, sự khác nhau giữa phân phối mẫu và phân phối tổng thể?
Sai số chuẩn
Sai số chuẩn (Standard Error) phản ánh mức độ biến động của thống kê mẫu giữa các mẫu khác nhau.
Đối với trung bình mẫu, sai số chuẩn thường được tính bằng:
Trong đó:
 (s) là độ lệch chuẩn của mẫu;
 (n) là kích thước mẫu.
Khi kích thước mẫu tăng, sai số chuẩn thường giảm. Điều này có nghĩa là mẫu lớn thường tạo ra kết quả ước lượng ổn định và chính xác hơn. Để dịch ý nghĩa của sai số chuẩn thì sai số chuẩn càng nhỏ càng tốt.

5. Ước lượng điểm

Ước tính điểm, trong thống kê, quá trình tìm giá trị gần đúng của một số tham số của mẫu ra tổng thể. Chẳng hạn ước lượng điểm để tìm  giá trị trung bình của tổng thể từ các mẫu ngẫu nhiên của quần thể. 
Ước lượng điểm  Point Estimation sử dụng một giá trị duy nhất từ mẫu để ước lượng tham số của tổng thể.
Ví dụ:

• 
  Trung bình mẫu $\overline{x}$ được dùng để ước lượng trung bình tổng thể $\mu$.
• Tỷ lệ mẫu $\hat{p}$​ được dùng để ước lượng tỷ lệ tổng thể $p$.
• Phương sai mẫu $s^2$ được dùng để ước lượng phương sai tổng thể $\sigma^2$.

Giả sử mức chi tiêu trung bình của 100 khách hàng trong mẫu là 1,5 triệu đồng mỗi tháng. Khi đó, 1,5 triệu đồng là ước lượng điểm cho mức chi tiêu trung bình của toàn bộ khách hàng.
Tuy nhiên, một giá trị duy nhất không phản ánh được mức độ không chắc chắn của kết quả. Hai mẫu khác nhau có thể tạo ra hai giá trị trung bình khác nhau. Vì vậy, trong nhiều trường hợp, nhà nghiên cứu cần sử dụng khoảng tin cậy như bên dưới đề cập.

6. Khoảng tin cậy

Khoảng tin cậy (Confidence Interval )cung cấp một khoảng giá trị có khả năng chứa tham số của tổng thể với một mức độ tin cậy nhất định.
Các mức tin cậy thường được sử dụng là 90%, 95% và 99%.
Khi chưa biết độ lệch chuẩn của tổng thể, khoảng tin cậy cho trung bình có thể được tính bằng:
Trong đó:

• $\overline{x}$ là trung bình mẫu;
• $t_{\alpha/2,n-1}$tα/2,n−1​ là giá trị tới hạn của phân phối $t$;
• $s$ là độ lệch chuẩn mẫu;
• $n$ là kích thước mẫu.

Giả sử một mẫu có mức chi tiêu trung bình là 1,5 triệu đồng và khoảng tin cậy 95% là từ 1,4 đến 1,6 triệu đồng. Kết quả này cho thấy tham số trung bình của tổng thể được ước lượng trong khoảng từ 1,4 đến 1,6 triệu đồng theo phương pháp đã sử dụng.

Khoảng tin cậy 95% không nên được diễn giải đơn giản rằng “có 95% xác suất tham số nằm trong khoảng vừa tính”. Theo cách tiếp cận thống kê tần suất, tham số được xem là cố định, còn khoảng tin cậy thay đổi theo từng mẫu.
Ý nghĩa chính xác hơn là: nếu lặp lại quá trình lấy mẫu và xây dựng khoảng tin cậy nhiều lần, khoảng 95% số khoảng được tạo ra sẽ chứa tham số thật của tổng thể.

7. Kiểm định giả thuyết

Bên cạnh việc ước lượng, thống kê suy luận còn được sử dụng để đánh giá một nhận định về tổng thể. Phương pháp này được gọi là kiểm định giả thuyết (Hypothesis Testing)
Ví dụ, Hocthue.net cho rằng thời gian giao hàng trung bình của họ không quá 3 ngày. Nhà nghiên cứu có thể thu thập dữ liệu từ một mẫu đơn hàng làm luận văn, tiểu luận để kiểm tra tuyên bố này.
Quy trình kiểm định giả thuyết thường bao gồm bốn bước.
Bước 1: Xây dựng giả thuyết
Hai giả thuyết được thiết lập:
 (H_0): giả thuyết không;
 (H_1): giả thuyết đối.
Ví dụ:
Giả thuyết (H_0) cho rằng thời gian giao hàng trung bình là 3 ngày. Giả thuyết (H_1) cho rằng thời gian giao hàng trung bình khác 30 phút.
Bước 2: Chọn mức ý nghĩa
Mức ý nghĩa thường được ký hiệu là (\alpha). Giá trị phổ biến là:
Mức ý nghĩa thể hiện mức rủi ro mà nhà nghiên cứu chấp nhận khi bác bỏ giả thuyết (H_0) dù giả thuyết này thực tế đúng.
Bước 3: Tính thống kê kiểm định và p-value
Tùy theo loại dữ liệu và giả định nghiên cứu, nhà nghiên cứu có thể sử dụng kiểm định (t), kiểm định (z), Chi-square hoặc ANOVA.
Kết quả thường bao gồm một thống kê kiểm định và p-value.
Bước 4: Đưa ra quyết định

Nguyên tắc mà HTNET thường khuyên đó là:

• Nếu $p\text{-value}<\alpha$ bác bỏ $H_0$
• Nếu $p\text{-value}\geq\alpha$, chưa có đủ bằng chứng để bác bỏ $H_0$

Hocthue.net cũng lưu ý rằng “không bác bỏ (H_0)” không đồng nghĩa với việc chứng minh (H_0) hoàn toàn đúng. Điều đó chỉ có nghĩa là dữ liệu hiện có chưa cung cấp đủ bằng chứng chống lại giả thuyết này.

8. Mức ý nghĩa và p-value

P-value là một trong những khái niệm dễ bị hiểu sai nhất trong thống kê.
P-value cho biết mức độ phù hợp của dữ liệu quan sát được với giả thuyết (H_0). Cụ thể hơn, đây là xác suất quan sát được một kết quả ít nhất cũng cực đoan như kết quả hiện tại, với điều kiện giả thuyết (H_0) đúng.
Bạn lưu ý rằng P-value không phải là:

•  Xác suất giả thuyết (H_0) đúng.
•  Xác suất kết quả nghiên cứu xảy ra do ngẫu nhiên.
•  Thước đo trực tiếp cho mức độ lớn của tác động.
•  Bằng chứng tuyệt đối để khẳng định một giả thuyết.

Một kết quả có ý nghĩa thống kê chưa chắc đã có ý nghĩa thực tiễn. Với mẫu rất lớn, một khác biệt nhỏ cũng có thể tạo ra p-value thấp. Vì vậy khi làm nghiên cứu, học viên cao học, sinh viên nên xem xét thêm kích thước ảnh hưởng, khoảng tin cậy và cỡ mẫu .